Fast richtig. Für die entsprechende Absetzung der Unterhaltsbeträge benötigt man natürlich auch eine Einnahmequelle, z.B. ein Einkommen, ALG I o.ä. Es funktioniert also nur bei Aufstockern. Eine Behörde kann sich das nicht aussuchen, wenn es im Gesetz steht.
Z.B. § 11b Abs.1 S.1 Nr.7 SGB II: Vom Einkommen abzusetzen sind Aufwendungen zur Erfüllung gesetzlicher Unterhaltsverpflichtungen bis zu dem in einem Unterhaltstitel oder in einer notariell beurkundeten Unterhaltsvereinbarung festgelegten Betrag
Oder § 18 S.2 WoGG: Liegt (...) eine notariell beurkundete Unterhaltsvereinbarung, ein Unterhaltstitel oder ein Bescheid vor, sind die jährlichen Aufwendungen bis zu dem darin festgelegten Betrag abzuziehen.
Im Ergebnis bekommt man tatsächlich seine Unterhaltsverpflichtungen vom Sozialstaat finanziert und macht keinerlei Schulden. Der Hintergrund dieser Regelungen ist grundsätzlich logisch und klar. Jemand, der selbst neu in den Sozialleistungsbezug fällt, soll gerade seinen Verpflichtungen erstmal weiterhin nachkommen können. Sonst bräuchten etwaige Geldempfänger ggf. selbst Sozialleistungen. Das soll und darf natürlich kein Dauerzustand sein, weshalb die Jobcenter beispielsweise nach einiger Zeit Druck ausüben werden und den Versuch einer Titeländerung durch den Pflichtigen verlangen. Eine gesetzliche Möglichkeit das zu ändern, besteht für die Behörden aber nicht. Man wird diesen Zustand deshalb durchaus eine ganze Zeit so halten können und ja, man könnte ihn auch absichtlich herbeiführen. Für Menschen, die ein Einkommen außerhalb des unterhaltsrechtlichen Mangelfalls erzielten können, wird sich Arbeit aber immer mehr lohnen als solche Wege.
Viele kennen diese Regelungen sicherlich gar nicht. Andere legen aus falscher Scham ihren Unterhaltstitel vielleicht nicht vor. Wieder andere haben nie einen Unterhaltstitel gemacht.
EDIT: Antwort hat sich mit der anderen überschnitten.